Teoría De Conjuntos

- Es una teoría matemática que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos. Llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

- Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

          

          1.- Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la teoría de conjuntos.

          2.- Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

          3.- Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son las descritas en 1 y 2.

Definición De Conjuntos

- Se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

- Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, D, … , X, Y, Z, sus elementos se separan mediante punto y coma.

Características Que Tienen Los Conjuntos

1.- Tabulación o Extensión.

          Cuando sus elementos van separados por coma.

2.- Compresión y Construcción.

          Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza todos los elementos del conjunto y se representan así: A = {x / x = … }

Notación

Todo conjunto se denota con letras mayúsculas A, B, C, … , se encierra entre llaves { } y sus elementos van separados por la (,); si entre ellos constan letras se escribirán en minúscula.

Clases de Conjuntos

- Conjunto finito: Posee limitado número de elementos.

- Conjunto infinito: Tiene un limitado número de elementos.

- Conjunto vacío: También llamado conjunto nulo, no tiene elementos y su símbolo es: Ø

- Conjunto Universal: Abarca todos los conjuntos, su símbolo es: U

- Conjunto de conjuntos: Tiene como elementos otros conjuntos.

Relación Entre Conjuntos

- Igualdad de conjuntos: Cuando dos conjuntos tienen los mismos elementos, sin importar su orden.

- Conjunto potencia: Se designa con 2 elevado al número de elementos que tenga el conjunto, esto permite hacer las combinaciones respectivas incluyendo el conjunto vacío.

- Conjunto Disjuntos: Cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes.

- Subconjunto: Un conjunto A es un subconjunto de B, cuando algunos elementos del conjunto A están en el conjunto B.

Actividad 1:

A = {a, e, i, 6, 8, 9}
B = {a, i, o, 1, 2, 3}
C = {a, e, u, Ø, 6, 7}
D = {a, i, 3, 5, 6, 7}

Siendo el universo todas las vocales y todos los dígitos.

Determinar los siguientes ejercicios por medio del Diagrama de Venn Euler.

Ejercicio 1.-
          A U B

 Respuesta:
           A U B = {a, e, i, o, 1, 2, 3, 6, 8, 9}

Ejercicio 2.-
          (B ∩ C) U (D ∩ A)

(B ∩ C)

(D ∩ A)

Respuesta:

          (B ∩ C) U (D ∩ A) = {a, i, 6}

Ejercicio 3.-
          A´

Respuesta:
          A´ = {a, u, Ø, 1, 2, 3, 5, 7}

Ejercicio 4.-
          A ∩ B ∩ C

Respuesta:
          A ∩ B ∩ C = {a}

Ejercicio 5.-
          (A U D)´

Respuesta:
          (A U D)´ = {o, u, 1, 2}

Ejercicio 6.-
          (D U B) ∩ (C - A)

(D U B)

(C - A)

Respuesta:

          (D U B) ∩ (C - A) = {7}

Ejercicio 7.-
          A´ U B´ U C´

A'

B'

C'

Respuesta:

          A´ U B´ U C´ = {e, i, o, u, Ø, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9,}

Actividad 2:

Ejercicios al resolver problemas con el Diagrama de Venn Euler.

Ejemplo 1:
      En un estudio de 120 consumidores realizado en un centro comercial, 80 consumidores indicaron que compran la marca A de cierto producto; 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas.

     Determine la cantidad de consumidores participantes en el estudio quienes compran:

a) Al menos una de estas marcas. _106_

b) Exactamente una de estas marcas. _64_

c) Sólo la marca A. _38_

d) Ninguna de estas marcas. _14_

Ejercicios al resolver problemas con el Diagrama de Venn Euler.

Ejemplo 2:
          A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos.

     La encuesta arrojo los siguientes datos:

        * A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustan los carritos y a 37 los videojuegos.

        * Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un juguete, 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y los videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos por ultimo 7 expresaron su gusto por los tres.

a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? _33_

b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos? _34_

c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? _10_

Actividad 3:

INSTRUCCIONES: Anotar en cada uno de los incisos “V” de verdadero o “F” de falso según la observación.

a) F ⊆ (C – D)   _V_

b) E ⊆ D    _V_

c) E ⊆ (C ∩ D)    _V_

d) (A ∩ B) = Ø    _F_

e) (D – C) ⊆ (B – A)    _F_

f) (C ∩ D) ⊆ U    _V_

g) D = {1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 14}    _F_

h) B ⊆ A    _F_

i) U – (C ∩ D) = {4, 15, 16}    _V_

j) E – (C ∩ D) = {6}    _F_

k) D – U = Ø    _V_

l) (B – A) = {5, 8}    _V_

m) 3 Є (A U B)    _V_

n) 11 ∉ (C – D)    _V_

Actividad 4:

INSTRUCCIONES: Escribe los elementos de los conjuntos o escribe el conjunto en la forma (x|P(x) , donde P(x) es una o varias propiedades comunes de los elementos del conjunto, dependiendo del caso.

     a) A = {suma, resta, multiplicación, división}
          Respuesta:
                    A = {x | x es una operación básica}

     b) D = {América, África, Europa, Asia, Oceanía}
          Respuesta:
                    D = {x | x es un continente}

     c) A = {x | x es una letra de la palabra hola}
          Respuesta:
                    A = {h, o, l, a}

     d) B = {x | x es un dígito del número 103836}
          Respuesta:
                    B = {0, 1, 2, 3, 6, 8}

     e) C = {x | es una letra de la palabra “América” diferente de vocal}
          Respuesta:
                    C = {m, r, c}

     f) A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
          Respuesta:
                    A = {x | es una silaba de la escala musical}

Definiciones de las Relaciones

- Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B.

- Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.

- Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R = {(a,1),(c,2)}.

- A las relaciones también se les llama correspondencias.

- Una relación  es la correspondencia que hay entre un elemento del conjunto B a 1 o más elementos del conjunto B.

- Una relación puede pensarse como una taba que enumera la relación de algunos elementos con otros. Por ejemplo, Bill está cursando ciencias de la computación y arte, y Mary está cursando matemáticas. En la terminología de las relaciones podríamos decir que Bill está relacionado con ciencias de la computación y arte, y que Mary está relacionada con matemáticas.

- Una relación (binaria) R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X * Y. Si (x,y) pertenece a R y decimos que esta relacionada con Y.

- Si X = Y, decimos que R es una relación binara sobre X.

Actividad 5:

INSTRUCCIONES: En los ejercicios 1 – 4, escriba la relación como un conjunto de pares ordenados.

Ejercicio 1.-
          

Respuesta:

          R = {(Martillo, 8840), (Tenazas, 9921), (Pintura, 152), (Alfombra, 2207)}

Ejercicio 2.-

Respuesta:
          R = {(1,b), (1,c), (3,a), (4,b)}

Ejercicio 3.-

Respuesta:
          R = {(Susana, Matemáticas), (Ruth, Física), (Samuel, Economía)}

Ejercicio 4.-
         

Respuesta:

          R = {(a,a), (b,b)}

INSTRUCCIONES: En los ejercicios 5 – 8, escriba la relación como tabla.

Ejercicio 5.-
          R = {(a,6), (b,2), (a,1), (c,1)}

                    Respuesta:

Ejercicio 6.-
          R = {(Rogelio, Música), (Patricia, Historia), (Benjamín, Matemáticas), (Patricia, Ciencias Sociales)}

               Respuesta:

Ejercicio 7.-
          La relación R, en {1, 2, 3, 4} definida por {x,y} € R if y
               X = {1, 2, 3, 4}
               Y = {1, 2, 3, 4}

                    Respuesta:

Ejercicio 8.-

          La relación R del conjunto x de planetas al conjunto y de enteros definida por {x,y} € R si x está cercano al sol está en la posición 1, el segundo más cercano al sol está en la posición 2, y así sucesivamente.

               X = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}

               Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

                     Respuesta:

INSTRUCCIONES: En los ejercicios 9 – 16, dibuje la digrafica de la relación, o escriba el conjunto de la relación.

Ejercicio 9.-
          La relación R = {(a,a), (b,b)} 
               Sobre {a, b, c}

                    Respuesta:

Ejercicio 10.-
          La relación R = {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (1, 1), (2, 2)}
               Sobre x = {1, 2, 3, 4}

                     Respuesta:

Ejercicio 11.-
          La relación R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}  en (1, 2, 3, 4)
               
               Respuesta:

Ejercicio 12.-
          La relación R, en {1, 2, 3, 4} definida por {x,y} € R if y
               X = {1, 2, 3, 4}
               Y = {1, 2, 3, 4}

                    

                      Respuesta:

Ejercicio 13.-

Respuesta:

                    R = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, d), (c, c), (c, d)}

Ejercicio 14.-

Respuesta:
                    R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 5)}

Ejercicio 15.-

Respuesta:

                    R = {Ø}

Ejercicio 16.-

Respuesta:

                    R = {(b, c), (c, d)), (d, d)}